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Il quiz dell’ospedale

Nel 1974 due psicologi, Daniel Kahneman e Amos Tversky, hanno presentato i loro soggetti di studio sperimentale utilizzando lo scenario seguente assieme a una domanda. Una città ha due ospedali. Nell’ospedale più grande nascono circa 45 bambini al giorno, mentre in quello più piccolo sono 15 i bambini che nascono quotidianamente.

Com’è noto circa la metà dei neonati sono maschi. Tuttavia, la percentuale esatta varia ogni giorno. A volte può essere più alta del 50%, mentre altre volte più bassa. Per un anno intero i due ospedali hanno registrato i giorni in cui più del 60% dei bambini nati erano maschi. Secondo te, in quale ospedale hanno registrato il maggior numero di giorni?

•        L’ospedale più grande
•        L’ospedale più piccolo
•        Più o meno gli stessi giorni (una differenza inferiore del 5%)

Secondo il teorema binomiale, il numero di giorni in cui i neonati maschi sono superiori, in un rapporto di almeno sei a quattro, rispetto alle neonate femmine, dovrebbe essere tre volte superiore nell’ospedale più piccolo rispetto a quello più grande, considerando semplicemente la maggior volatilità nelle percentuali di nascite. Utilizzando un campione più ampio è meno probabile che i dati si discostino molto dal 50%. Tuttavia, solamente il 22% degli intervistati ha fornito la risposta corretta.

Cos’è l’euristica?

Kahneman e Tversky hanno descritto questo errore come la fiducia che si pone nella legge dei piccoli numeri. Generalmente i giudizi fatti prendendo in considerazione dei campioni piccoli sono percepiti, in maniera sbagliata, come una rappresentazione di un insieme di dati più ampi. Ad esempio, un piccolo campione, che sembra essere distribuito in maniera causale, potrebbe rafforzare la convinzione che anche un insieme di dati più ampio dal quale è stato selezionato il campione possa avere una distribuzione casuale.

Il quiz dell’ospedale: utilizzando un campione più ampio è più improbabile che si discosti molto dal 50%. Tuttavia, solamente il 22% degli intervistati ha fornito la risposta corretta.

Al contrario, un campione limitato, che dimostra un modello apparentemente significativo, come possono essere dieci lanci di una moneta in cui esce testa per 9 volte, farà in modo che l’osservatore creda che un insieme di dati più ampio mostri lo stesso modello. Nel caso della moneta si giungerebbe alla conclusione che la moneta è truccata. L’esperienza di percepire dei modelli con dati casuali o senza alcun senso si chiama apofenia.

Credere nella legge dei piccoli numeri fa parte di un gruppo più ampio di scorciatoie mentali che le persone utilizzano quando devono prendere decisioni in condizioni d’incertezza. Kahneman e Tversky hanno chiamato queste scorciatoie euristica. Generalizzare utilizzando dei campioni limitati è un esempio di euristica della rappresentatività, in cui le persone valutano le probabilità di un determinato evento basandosi solamente sulla generalizzazione di eventi simili precedenti che si ricordano facilmente.

Un altro esempio di euristica della rappresentatività è l’espressione della fallacia dello scommettitore. Questo genere di pregiudizio nasce dalla fiducia che si ripone nella legge dei piccoli numeri. Come hanno affermato Kahneman e Tversky:

“Quello su cui si basa la fallacia dello scommettitore è l’idea sbagliata che le leggi sulle probabilità siano una scienza esatta”. Uno scommettitore crede che il fatto che una moneta non sia truccata possa far pensare che qualsiasi deviazione in una direzione possa essere presto cancellata da una deviazione opposta. Le persone agiscono come se ogni segmento della sequenza casuale rifletta la proporzione reale; se la sequenza si discosta dalla proporzione dell’insieme dei numeri ci si può aspettare una tendenza correttiva nell’altro senso.

Leggere i grafici di campioni di dimensioni diverse

Gli scommettitori sportivi possono essere particolarmente inclini a fare affidamento su modelli sbagliati a causa di una fiducia mal riposta sulla legge dei piccoli numeri. Interpretare in maniera sbagliata la redditività utilizzando un piccolo campione di scommesse rappresentanti uno scostamento dalla casualità e la dimostrazione di saper effettuare pronostici possono portare a conseguenze finanziarie poco piacevoli sul lungo termine. Consideriamo il seguente grafico sull’ipotetica redditività di 100 scommesse sugli spread punti di NFL. Ogni scommessa è giocata a una quota di 1,95. Impressionante, non è vero?

E se ti dicessi che questo resoconto rappresenta le giocate di un famoso scommettitore statunitense che concentra le sue giocate su quote a spread? Con un buon trend di crescita e un guadagno del 15% nessuno te ne farebbe una colpa se mi credessi. Ma ovviamente è una bugia Nel grafico successivo di 1000 scommesse, abbiamo un numero di dati maggiore.

Come si può osservare non c’è alcun tipo di redditività sul lungo termine. Il motivo sta nel fatto che questi dati sono stati prodotti da un generatore casuale di numeri che suppone che una persona abbia il 50% di possibilità di vincere una scommessa e un’aspettativa di guadagno del -2,5%. Il primo grafico rappresenta solamente le prime 100 scommesse del secondo.

Anche nella seconda e più lunga serie di scommesse è stata mantenuta una buona redditività per diverse centinaia di scommesse. Inoltre, nonostante si sia registrata una perdita in termini generali, il modello della serie non sembra per nulla casuale, piuttosto un modello con un movimento a onde quasi costante.

Tuttavia, come hanno affermato Kahneman e Tversky, è molto probabile che noi percepiamo sequenze di risultati simili come non casuali anche se non esiste alcun tipo di correlazione tra di loro. Quale delle due seguenti sequenze binarie appare casuale e quale no?

La maggior parte delle persone sceglierebbe la seconda sequenza. In realtà, la prima è stata creata in maniera casuale in Excel e la seconda l’ho creata io apposta con brevi sequenze di 1 e 0. Quando si chiede a qualcuno di creare una sequenza casuale come quella precedente molti di noi cambierebbero da 1 a 0 e viceversa quando pensano che la cifra che stanno utilizzando è apparsa troppo spesso.

Ora osserviamo i seguenti grafici che si basano su 1000 scommesse. Sono stati tutti generati in maniera casuale. L’ampia gamma di possibili risultati dovrebbe fornire un assaggio di quanto sia facile essere ingannati da modelli che sembrano avere un senso.

Ricorda che queste non sono serie di 100 scommesse, ma di 1000. Diamo un’occhiata al grafico centrale. Ha tutta l’aria di essere una serie di scommesse di un informatore o di uno scommettitore esperto con un guadagno del 5% e una buona crescita di profitto durante tutta la sequenza, il tipo di prestazioni che sono in grado di far registrare i migliori giocatori di spread. Ma è un caso.

Utilizzando la distribuzione binomiale possiamo calcolare la probabilità di mantenere un profitto dopo un certo numero di scommesse nonostante un’aspettativa di guadagno del -2,5%.

Dopo 1000 scommesse abbiamo ancora una possibilità su cinque di essere in attivo nonostante le scelte siano casuali. Se piazziamo una scommessa con spread su ogni partita di NFL ci vorrebbero quasi quattro stagioni per arrivare a 1000 scommesse. Un periodo di tempo molto lungo per poter pensare che tutto si basi solamente sulla fortuna.

Quando si può dire che i dati sono limitati?

La legge dei piccoli numeri è un pregiudizio cognitivo a causa del quale le persone mostrano una tendenza a credere che un numero relativamente piccolo di osservazioni possa riflettere in maniera molto simile l’insieme dei dati generali. Tuttavia, come abbiamo osservato in questo esercizio, i dati limitati possono essere molto più ampi di quello che si possa pensare. Questo avviene perché le persone preferiscono la certezza al dubbio, la ragione all’ignoranza, la causalità ai collegamenti, i modelli alla casualità e le abilità, in particolar modo quelle di autoprotezione, sulla fortuna. Nel caso non comprendano realmente la sua rilevanza, gli scommettitori sportivi possono incorrere in danni finanziari.

(liberamente tratto dal sito Pinnacle)